Неопределённость взвешивания на лабораторных весах: как посчитать тип А и В

Неопределённость взвешивания — это не «погрешность весов из паспорта». Неопределённость весов — лишь один из вкладов: на результат влияют повторяемость, дискретность отсчёта, температурный дрейф, эксцентриситет, погрешность гири и даже выталкивающая сила воздуха. Ниже — как собрать бюджет по типам А и В, посчитать стандартную и расширенную неопределённость и перенести её в бюджет методики.

Разбор построен на полном числовом примере: весы с дискретностью 0,1 мг, гиря класса F1 номиналом 10 г, десять повторных взвешиваний. В результате получается расширенная неопределённость U = 0,8 мг для навески 10 г — число, которое можно проверить по таблице и формулам.

Откуда берётся неопределённость при взвешивании

Весы — это средство измерений, у которого есть предел допускаемой погрешности, но этим погрешность результата не исчерпывается. Когда лаборатория взвешивает навеску, на показание влияют несколько источников сразу: случайный разброс при повторных взвешиваниях, шаг дискретности, изменение чувствительности при колебаниях температуры, положение груза на чашке, неидеальность гири, которой юстируют весы, и плотность воздуха.

Часть источников проявляется как случайный разброс: если взвесить одну и ту же гирю десять раз, показания немного отличаются. Это оценивают экспериментально и относят к типу А. Другая часть известна из документов: паспорт весов, свидетельство о поверке гири, диапазон рабочих температур. Их оценивают расчётом и относят к типу В. Оба типа суммируют, получая стандартную неопределённость, а затем расширяют умножением на коэффициент охвата.

Есть два подхода. «Сверху вниз» — взять протокол калибровки весов с уже посчитанной неопределённостью. «Снизу вверх» — собрать бюджет из отдельных источников; он понятнее, когда калибровочного протокола нет, а есть паспорт весов и свидетельство на гирю.

Главная ошибка — учитывать один источник дважды. Предел допускаемой погрешности весов уже включает нелинейность и эксцентриситет, если проверка выполнялась по методике поверки; добавлять их отдельными строками нельзя.

Что оцениваем: массу, а не показание

Результат взвешивания — это не число на дисплее, а оценка массы навески с известной неопределённостью. Модель измерения можно записать так: показание весов плюс поправки на систематические эффекты. Если поправки не вводят, их возможные значения всё равно дают вклад в неопределённость.

Для примера примем, что весы юстируют по гире F1 перед серией измерений, температура в лаборатории поддерживается в пределах, указанных в паспорте, а поправка на выталкивающую силу воздуха не вводится. Тогда в бюджет входят: повторяемость, погрешность весов, погрешность гири, дискретность, температурный дрейф, эксцентриситет и остаточная поправка на воздух. Именно такой набор и посчитан ниже.

Если весы калиброваны производителем, а гиря используется только для периодического контроля, её погрешность в бюджет результата не включают: она относится к контролю. Если гиря — рабочее средство юстировки, строка в бюджете обязательна: без неё U была бы 0,7 мг, с ней — 0,8 мг.

Тип А: повторные взвешивания одной гири

Оценка типа А — это статистика по повторным наблюдениям. Берут одну и ту же гирю, взвешивают её n раз в одинаковых условиях, по возможности не меняя положение на чашке, и считают среднее и стандартное отклонение. Среднее значение — оценка массы, стандартное отклонение — характеристика разброса.

Сначала считают выборочное стандартное отклонение:

s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) ),

где x_i — отдельное показание, x̄ — среднее, n — число наблюдений. Затем переходят к стандартной неопределённости среднего:

u_A = s / √n.

Именно u_A, а не s, входит в бюджет: результат — это среднее, и неопределённость среднего меньше разброса отдельного измерения в √n раз. Для n = 10 это примерно в 3,16 раза. Если оставить s, оценка будет завышенной, а если взять размах или одну пару измерений — неустойчивой.

Две тонкости. Повторные взвешивания должны быть независимыми: десять переписанных подряд показаний дают красивую, но бессмысленную статистику. И если все показания совпали, s = 0 — это не нулевая неопределённость: вклад дискретности учитывают отдельно.

Тип В: паспорт весов, гиря, температура, эксцентриситет

Оценки типа В берут из документов. Если в документе указан предел допускаемой погрешности ±a и нет данных о виде распределения, принимают равномерное распределение и делят на √3:

u_B = a / √3.

Если в свидетельстве или протоколе калибровки дана расширенная неопределённость U с коэффициентом охвата k, стандартную получают делением: u = U / k. Складывать оба способа для одного источника нельзя.

• Погрешность весов. Паспортный предел допускаемой погрешности в рабочем диапазоне. Для примера — ±0,5 мг, отсюда u = 0,289 мг. Если есть протокол калибровки с неопределённостью, берут его, а не паспорт.
• Гиря. Класс F1, номинал 10 г, предел допускаемой погрешности по свидетельству — ±0,2 мг, отсюда u = 0,115 мг. Если с даты поверки прошло время и в свидетельстве указан дрейф, его добавляют. Для долго хранящихся гирь дрейф может оказаться больше паспортного допуска.
• Дискретность. Весы показывают с шагом d = 0,1 мг. Истинное значение лежит в пределах ±d/2 = ±0,05 мг, отсюда u = 0,05/√3 = 0,029 мг. Если повторяемость уже включает дискретность, отдельную строку не добавляют.
• Температурный дрейф. Паспорт даёт изменение показаний, например ±0,2 мг в рабочем диапазоне температур. При равномерном распределении u = 0,2/√3 = 0,115 мг. Если температура в лаборатории стабильнее паспортного диапазона, оценку можно уменьшить, но это нужно обосновать записями.
• Эксцентриситет. Если проверка положения груза не выполнялась, берут допуск из паспорта, например ±0,3 мг, и получают u = 0,173 мг. Если эксцентриситет проверен и поправка учтена, в бюджет идёт остаточная составляющая, а не полный допуск.
• Линейность. Обычно входит в предел допускаемой погрешности. Отдельной строкой её добавляют только тогда, когда в документе она задана отдельно и не перекрывается общей погрешностью.

Все оценки типа В суммируют по квадратам: арифметическое сложение погрешностей даёт завышенный бюджет. После суммирования видно, какой источник определяет результат; чаще всего это паспортная погрешность весов, а не дискретность, хотя визуально главной кажется «последняя цифра».

Поправка на выталкивающую силу воздуха

Весы сравнивают силу тяжести груза с силой, создаваемой калибровочными гирями. Воздух выталкивает и груз, и гири, но по-разному, если у них разная плотность. Поправку оценивают по формуле:

Δm = m · ρ_возд · (1/ρ_пробы − 1/ρ_гирь),

где m — масса груза, ρ_возд ≈ 1,2 кг/м³, ρ_пробы и ρ_гирь — плотности груза и калибровочных гирь. Для стальной гири плотностью 7900 кг/м³ и калибровочных гирь 8000 кг/м³ поправка для 10 г составляет около 0,019 мг — меньше дискретности. Для водного раствора плотностью 1000 кг/м³ та же формула даёт уже около 10,5 мг на 10 г, то есть 0,1 %.

Практический вывод: для гири или металлической детали поправка мала, и её можно не вводить, если целевая неопределённость заметно больше 0,02 мг. Для водных растворов, органических жидкостей и порошков с низкой плотностью поправка значима. Если её не вводят, в бюджет добавляют составляющую: при равномерной оценке — Δm/√3, при известной неопределённости плотностей — через коэффициенты чувствительности.

В примере ниже поправка не вводится, но в бюджет включена остаточная составляющая 0,02 мг: плотность гири отличается от плотности калибровочных гирь весов. Это честнее, чем писать «воздух не влияет»: вклад мал, но он существует и объяснён.

Пример расчёта: весы с дискретностью 0,1 мг

Исходные данные: весы лабораторные, дискретность 0,1 мг, паспортный предел допускаемой погрешности ±0,5 мг, температурный дрейф ±0,2 мг, допуск на эксцентриситет ±0,3 мг. Гиря класса F1 номиналом 10 г, предел допускаемой погрешности по свидетельству ±0,2 мг. Выполнено десять повторных взвешиваний гири; показания приведены в таблице.

Среднее: x̄ = 10,0000 + 1,5/10 = 10,00015 г. Сумма квадратов отклонений 0,1050 мг². Выборочное стандартное отклонение:

s = √(0,1050 / 9) = √0,011667 = 0,108 мг.

Стандартная неопределённость среднего:

u_A = 0,108 / √10 = 0,0342 мг.

Теперь оценки типа В. Погрешность весов: 0,5/√3 = 0,289 мг. Гиря: 0,2/√3 = 0,115 мг. Дискретность: 0,05/√3 = 0,0289 мг. Температура: 0,2/√3 = 0,115 мг. Эксцентриситет: 0,3/√3 = 0,173 мг. Остаточная поправка на воздух: 0,02/√3 = 0,0115 мг.

Суммарная и расширенная неопределённость

Суммарную стандартную неопределённость считают как корень из суммы квадратов:

u = √(u_A² + Σu_B²).

Подставляем значения в мг²: u_A² = 0,00117; u_B² по строкам — 0,08333 (весы), 0,01333 (гиря), 0,00083 (дискретность), 0,01333 (температура), 0,03000 (эксцентриситет), 0,00013 (воздух). Сумма равна 0,14213 мг². Тогда:

u = √0,14213 = 0,377 мг.

Расширенная неопределённость при k = 2:

U = 2 · 0,377 = 0,754 мг ≈ 0,8 мг.

Результат взвешивания: (10,0002 ± 0,0008) г, или (10000,2 ± 0,8) мг. Среднее 10,00015 г округлено до того же разряда, что и U: 0,0001 г. Относительная расширенная неопределённость составляет 0,0008/10 = 8·10⁻⁵, то есть 0,008 %.

Проверка здравым смыслом: U = 0,8 мг больше паспортного предела 0,5 мг. Так и должно быть — в U вошли гиря, температура, эксцентриситет и дискретность. Меньше 0,5 мг означало бы, что часть источников потеряна.

Коэффициент k = 2 соответствует доверительной вероятности около 95 % для нормального распределения. При малом числе наблюдений строгое решение использует распределение Стьюдента, но в лабораторной практике для бюджета взвешивания обычно принимают k = 2 и указывают это в записях. Главное — не менять k от протокола к протоколу без основания.

Как перенести в бюджет методики и что писать в протоколе

В бюджете методики взвешивание — одна из составляющих, а не весь бюджет. Если результат выражается через массу навески, вклад учитывают либо как абсолютную u_m, либо как относительную u_m/m. Для навески 10 г относительная стандартная неопределённость равна 0,377/10000 = 3,77·10⁻⁵. Дальше её складывают с вкладами мерной посуды, растворов, прибора и повторяемости по формуле корня из суммы квадратов.

Нельзя переносить U, полученную для 10 г, на любую другую навеску. Предел допускаемой погрешности весов зависит от диапазона, дискретность имеет смысл только в своей шкале, а относительный вклад меняется вместе с массой. Для каждой рабочей массы бюджет пересчитывают или хотя бы проверяют, что она попадает в тот же диапазон и что U не меньше, чем для проверенной точки.

В протоколе испытаний результат взвешивания записывают так: «Масса навески — 10,0002 г, расширенная неопределённость 0,0008 г (k = 2, P ≈ 0,95)». В записях о взвешивании указывают весы (тип, заводской номер), гирю (номинал, класс, номер свидетельства), дату, исполнителя и условия. Если поправка на воздух вводилась, это тоже отражают в записях.

В записях ВЛК контрольное взвешивание гири — удобный и быстрый способ проверить весы между поверками. Результат сравнивают с аттестованным значением гири и оценивают по критерию En:

En = |m_лаб − m_эт| / √(U_лаб² + U_эт²).

Если |En| ≤ 1, результат считается удовлетворительным; если больше — нужен разбор. Периодичность контроля зависит от интенсивности работы и критичности взвешивания: где-то это ежедневная проверка перед серией, где-то — еженедельная. Нормы «раз в день» в стандарте нет, но выбранная периодичность должна быть в плане ВЛК и выполняться.

Готовый калькулятор, который считает бюджет взвешивания по этой схеме, вынесен на отдельную страницу — неопределённость взвешивания. Если нужно посчитать бюджет всей методики, а не только взвешивания, подойдёт расчёт неопределённости в Excel; для контроля весов и карт Шухарта есть калькуляторы ВЛК.