Бюджет неопределённости — это таблица, из которой видно, откуда взялась неопределённость результата и какой вклад даёт каждый источник. Без бюджета расчёт превращается в «получилось 0,0003 — поверьте». С бюджетом видно: 54 % даёт калибровка весов, 18 % — линейность, и именно туда надо смотреть, если нужна точность выше.
Зачем нужен бюджет
Бюджет решает три задачи. Первая — показать полноту: все ли источники учтены. Вторая — показать соотношение: какой вклад главный. Третья — дать возможность пересчитать результат, если изменился один из источников: например, весы прошли калибровку с другой неопределённостью.
Форма бюджета типовая: входная величина, её оценка, стандартная неопределённость, тип А или В, коэффициент чувствительности, вклад и доля вклада. Дальше — пример с реальными числами.
Модель и исходные данные примера
Взвешиваем навеску на лабораторных весах. Модель простая: масса навески равна показанию весов с учётом поправок. Все входные величины входят с коэффициентом чувствительности 1, поэтому вклад равен стандартной неопределённости.
- показание весов — около 1,0000 г;
- дискретность индикации — 0,0001 г (0,1 мг);
- калибровка весов — расширенная неопределённость 0,0002 г при k = 2;
- линейность — в пределах 0,0001 г;
- эксцентриситет — в пределах 0,0001 г;
- повторяемость — по 10 взвешиваниям стандартное отклонение 0,00008 г;
- влияние температуры — в пределах 0,00001 г.
Тип А: повторяемость
Десять взвешиваний одной и той же навески дали стандартное отклонение s = 0,00008 г. Стандартная неопределённость среднего:
u(A) = s / √n = 0,00008 / √10 = 0,0000253 г.
Это вклад случайности: он уменьшается с числом наблюдений, но не исчезает. Обратите внимание: 0,0000253 г — меньше дискретности весов, и это нормально.
Тип В: дискретность, калибровка, линейность, эксцентриситет
Дискретность. Весы показывают с шагом 0,0001 г. Половина шага — 0,00005 г. При равномерном законе делим на корень из трёх:
u(дискр) = 0,00005 / √3 = 0,0000289 г.
Калибровка. В свидетельстве указана расширенная неопределённость 0,0002 г при k = 2. Приводим к стандартной:
u(калибр) = 0,0002 / 2 = 0,0001 г.
Линейность. Граница 0,0001 г, равномерный закон:
u(лин) = 0,0001 / √3 = 0,0000577 г.
Эксцентриситет. Граница 0,0001 г, равномерный закон:
u(эксц) = 0,0001 / √3 = 0,0000577 г.
Температура. Влияние в пределах 0,00001 г:
u(темп) = 0,00001 / √3 = 0,0000058 г.
Коэффициенты чувствительности во всех строках равны 1: каждая величина входит в результат напрямую, без множителей и степеней.
Бюджет целиком
| Источник | u(xi), г | Тип | Вклад, г | Доля |
|---|---|---|---|---|
| Повторяемость (n = 10) | 0,0000253 | А | 0,0000253 | 3,5 % |
| Дискретность весов | 0,0000289 | В | 0,0000289 | 4,5 % |
| Калибровка весов | 0,0001 | В | 0,0001 | 54,4 % |
| Линейность | 0,0000577 | В | 0,0000577 | 18,1 % |
| Эксцентриситет | 0,0000577 | В | 0,0000577 | 18,1 % |
| Температура | 0,0000058 | В | 0,0000058 | 0,2 % |
Уже по таблице видно главное: калибровка весов даёт больше половины вклада. Хотите точнее — нужно смотреть на калибровку, а не на число взвешиваний.
Суммарная и расширенная неопределённость
Суммируем квадраты вкладов:
uc = √(0,0000253² + 0,0000289² + 0,0001² + 0,0000577² + 0,0000577² + 0,0000058²) ≈ 0,000136 г.
Коэффициент охвата: наблюдений типа А десять, поэтому принимаем k = 2 для вероятности 0,95. Расширенная неопределённость:
U = 2 · 0,000136 ≈ 0,00027 г, округляем до 0,0003 г.
Результат записываем так:
m = (1,0000 ± 0,0003) г, k = 2, P = 0,95.
Обратите внимание на разряды: неопределённость округлена до 0,0001 г, результат — до того же разряда. Запись «1,00000 ± 0,00027» была бы ошибкой: лишние знаки не подтверждены расчётом.
Второй пример: калибровка манометра
Тот же подход работает для калибровки. Манометр с диапазоном 0–1 МПа, дискретность 0,01 МПа, эталон с расширенной неопределённостью 0,002 МПа при k = 2, повторяемость по пяти наблюдениям s = 0,004 МПа.
- тип А: u = 0,004 / √5 = 0,0018 МПа;
- эталон: u = 0,002 / 2 = 0,001 МПа;
- дискретность: u = 0,005 / √3 = 0,0029 МПа;
- суммарная: uc = √(0,0018² + 0,001² + 0,0029²) ≈ 0,0036 МПа;
- k: наблюдений пять, поэтому берут коэффициент Стьюдента, а не 2.
Именно на этом месте чаще всего ошибаются: ставят k = 2 при пяти наблюдениях и получают заниженную расширенную неопределённость.
Шаблон Excel
Чтобы не собирать таблицу каждый раз, сделал шаблон: в нём уже есть строки бюджета, формулы вкладов, долей, суммарной и расширенной неопределённости. Жёлтые ячейки — для ваших данных, зелёные считаются сами.
Скачать шаблон бюджета неопределённости (.xlsx)
В шаблоне два листа: «Бюджет» с примером взвешивания и «Как пользоваться» с порядком заполнения. Файл бесплатный, меняйте под свою задачу.
Частые ошибки
- Расширенную неопределённость эталона подставили в бюджет как стандартную, не разделив на k.
- Дискретность учли как половину шага, забыв разделить на корень из трёх.
- Поставили k = 2 при трёх-пяти наблюдениях типа А.
- Забыли эксцентриситет или линейность — а они дают почти пятую часть вклада.
- Не учли корреляцию: например, эталон и прибор греются от одного источника тепла.
- Оставили в результате больше знаков, чем позволяет неопределённость.
- Сделали бюджет один раз и не пересчитали после смены весов или поверки.
Коротко
Бюджет неопределённости — это не бюрократия, а рабочий инструмент. Он показывает, куда смотреть, если нужна точность, и защищает результат от вопроса «откуда взялись эти знаки». Пример с навеской занимает полстраницы, а шаблон позволяет собрать такой же для своей задачи за десять минут.